Memukul bola billiard dengan kiu

Dengan menganggap bola billiard homogen dengan massa m dan radius R berada pada meja billiard (horizontal, tegak lurus dengan gaya gravitasi), koefisien kinetik antara bola dengan meja adalah µ dan diasumsikan tidak ada gaya yang dihasilkan oleh gesekan putaran bola.

Pada t = 0 bola dipukul dengan kiu, gaya yang dihasilkan pada durasi singkat :

a) bola dipukul pada tengah-tengah oleh kiu dengan arah gaya menuju ke pusat bola. Berapa waktu yang dibutuhkan untuk memulai satu gerakan putaran? Dan berapa kecepatan akhir dari pusat massa bola (vf)?

B) berapa tinggi kiu (h) dari pusat bola yang harus dipukul sehingga gerakan putaran dapat dimulai dengan seketika?

Solusi :

a) dengan menggunakan referensi pusat kartesius berada di pusat bola dan arah gaya-gaya pada gambar diatas. Karena arah gaya menuju ke pusat bola maka bola tidak memiliki tenaga putaran pada t = 0 (pukulan singkat), jadi dapat didefinisikan pergerakan awal bola memiliki persamaan :

Iω (0) = 0 mv (0) = P

Dimana (vo) dan (ωo) adalah kecepatan linier dan kecepatan angular saat t = 0 dan I merupakan momen inersia bola yaitu I = mR² sehingga v (o) = P/m dan (ωo) dapat dijabarkan sebagai berikut :

V (t) = v (o) + f t

m

ω (t) = ω (o) + R x f t

I

Dimana f adalah gaya gesek f = -µmgx dan ω = ωy , secara geometri persamaan di atas menjadi

V (t) = v (o) - f t

m

ω (t) = ω (o) + f R t

I

Bola akan berputar tanpa selip saat v = ω x R atau v = ωR. Dengan menggunakan kedua rumus diatas maka diperoleh tR saat mulai berputar,yaitu :

tR = v (o) – ω (o) R .

(f/m) (1 + mR²/I)

= v (o)

(f/m) (1 + mR²/I)

= 2 P

7 f

Dan kecepatan akhir vf dapat dihitung dengan

vf = v (o) - f tR = P (1 – 2/7)

m m

= 5 P

7 m

b)

Dengan menggunakan rumus kondisi awal pada bagian a) kita peroleh:

mv (o) = P

Iω (o) = hP

Dengan kondisi v (o) = ω (o) R untuk berputar tanpa selip, maka didapat rumus:

P = hP R

M I

Sehingga h = 2/5 R